تطبيقات القانون الثاني لنيوتن

تطبيقات القانون الثاني لنيوتن

أولاً : دراسة حركة الأجسام على السطوح الملساء
في الدرس القادم نقوم بتطبيق القانون الثاني لنيوتن على بعض الحالات وذلك ضمن الشروط التالية :
1- الجسم موضوع الدراسة إما أن يكون متزناً ( ت = صفر ) أو يقع تحت تأثير قوة محصلة خارجية ثابتة تقريباً.
2- نفترض أن الأسطح عديمة الاحتكاك.
3- نهمل أي أثر لدوران الجسم.
4- نهمل وزن الخيوط والبكرات وبذلك يكون الشد ثابتاً عند أي نقطة.

الطريقة العامة لحل المسائل :
1- نرسم رسم توضيحي للنظام والمقصود هنا بالنظام كل الأجسام الموضحة في المسألة .
2- نوضح القوى القوى المؤثرة على الرسم.
3- نعزل الجسم الذي نريد تطبيق القانون عليه.
4- نرسم للجسم " رسماً حراً " Free Body Diagram وهو رسم للجسم يوضح كل القوى الخارجية المؤثرة فيه.
5- إذا كان النظام مكوناً من أكثر من جسم نرسم رسماً حراً لكل جسم. ولا تظهر على هذا الرسم القوى التي يؤثر فيها هذا الجسم على الأجزاء الأخرى من النظام.
6- نختار محاور متعامدة لكل جسم ونقوم بتحليل القوى على هذه المحاور.
7- نقوم بتطبيق قانون نيوتن الثاني على كل محور على حدة :



8- نقوم بحل المعادلات المتكونة أعلاه.


مثال رقم ( 1 ) :
جسم يزن 125 نيوتن معلق كما هو موضح في الشكل

احسب قوى الشد المؤثرة في الخيوط الثلاث.

الحل :

1- نعيد الرسم مرة أخرى موضحين القوى المؤثرة فيه.








2- نرسم رسماً حراً للجسم موضحين فيه القوى المؤثرة في الجسم.
ومن هذا الرسم نستنتج أن :





لاحظ أننا نعتبر القوى المتجهة إلى أعلى موجبة والقوى المتجهة إلى أسفل سالبة أما القوى في اتجاه السين الموجب فهي موجبة, والقوى في اتجاه السين السالب فهي سالبة.



4- بما أن الجسم متزن






5- وبحل المعادلتين ( 1 ) ، ( 2 ) ينتج ما يلي :
من ( 1 ) ـ ش2 جتا 53 ْ = ش3 جتا 37



وبتعويض قيمة ش2 في المعادلة ( 2 )


( 0.6 ) ش3 + ( 1.33 ) ش3 ( 0.8 ) - 125 = صفر
( 0.6 ) ش3 + ( 1.064 ) ش3 = 125
( 1.664 ) ش3 = 125

ش2 = ش3 ( 1.33 ) = 99.9 نيوتن

مثال رقم ( 2 ) :
السطح المائل :


وضع صندوق كتلته = 5 كغ في أعلى سطح مائل أملس ( زاوية الميل = 30ْ ) ثم ترك لينزلق كما في الشكل . احسب تسارع الصندوق.
الحل :
1- نعيد الرسم موضحين القوى المؤثرة في الجسم



2-نرسم " رسم حر" للجسم موضحين فيه المحاور وتحليل القوى
3- نطبق القانون الثاني لنيوتن على المحورين.

لا توجد حركة على المستوى الرأسي
من ( 2 ) يمكن القول أن ر = ك جـ جتا 30



ولعلك تلاحظ من هذه المعادلة أن التسارع لا يعتمد على كتلة الجسم وإنما يعتمد فقط على زاوية ميل المستوى( ).
حالات خاصة :
1- عندما تكون  =ه90 ْ فإن ت = جـ , و ر = صفر ، وعليه فإن الجسم يكون في حالة سقوط حر.
2- عندما تكون  = صفر, تس = صفر
ر = ك جـ = و وهذه هي القيمة العظمى لرد الفعل.

مثال رقم ( 3 ) :
آلة آتوود :
آلة أتوود هي عبارة عن بكرة ملساء ثابتة مهملة الكتلة , تحمل كتلتين غير متساويتين كما في الشكل , وتستخدم هذه الآلة في المختبر عادة لحساب تسارع السقوط الحر , ولإثبات القانون الثاني لنيوتن.

في الشكل الموضح إذا كانت ك1 = 2 كغ , ك2 = 4 كغ.
1- احسب تسارع النظام ( الكتلتين ).
2- احسب الشد في الخيط.
الحل :
1- نعيد الرسم موضحين القوى المؤثرة في كلا الجسمين.

2- نرسم الرسم الحر لكلا الكتلتين والذي يوضح أن كل منهما يؤثر عليه قوتين الشد إلى أعلى والوزن إلى أسفل. ونوضح اتجاه تسارع كل من الكتلتين.


2- نطبق القانون على الكتلة الأولى ( ك1 ):
ش - و1 = ش - ك1 جـ = ك1 ت


4- نطبق القانون على الكتلة الثانية ( ك2 )
ش - و2 = ش - ك2 جـ = - ك2 ت


5- نطرح المعادلة ( 2 ) من المعادلة ( 1 ) وينتج أن :


جـ ( ك2 - ك1 ) = ت ( ك1 + ك2 )


ومنه بالتعويض ك1 = 2 كغ ، ك2 = 4 كغ ، جـ = 9.8 م / ث2

6- لإيجاد الشد في الخيط نعوض قيمة ت ( معادلة ( 3 )) في المعادلة ( 1 ):










وبالتعويض , ك1= 2 كغ , ك2= 4 كغ , جـ = 9.8 م / ث2



ملاحظة : يمكن حساب تسارع مباشرة بحساب القوة المحصلة على النظام وقسمتها على كتلة النظام الكلية.



حالات خاصة :
1- عندما تكون ك1= ك2 , فإن ت = صفر ، ش = ك1جـ = ك2جـ
2- عندما تكون ك2 >> ك1 فإن ت = جـ ، كما لو كان سقوطاً حراً ، ش تساوي تقريبا 2 ك1 جـ


مثال رقم ( 4 ) :
جسم كتلته ( ك1 = 5 كغ ) موضوع فوق سطح مائل ( زاوية الميل = 45 ْ ) ويتصل بجسم آخركتلته ( ك2 = 10 كغ ) عبر بكرة ملساء ثابتة . كما هو موضح في الشكل.
احسب أ- تسارع النظام ( ت )
ب- الشد في الخيط ( ش )

الحل :
1- الكتلتين متصلتين بخيط غير قابل للإستطالة والبكرة ملساء لذلك فإن تسارع الكتلتين هو نفس التسارع.
2- نعيد رسم النظام مرة أخرى موضحين فيه القوة المؤثرة.



3- نرسم الرسم الحر لكلا الجسمين




ش - و1 = ك1 ت

5- نطبق القانون على الكتلة الثانية ( ك2 )

ش - و2 جا 45 ْ = ك2 ت


ر - و2 جتا 45 ْ = صفر

- نقوم بحل المعادلات :
المعادلة ( 1 ) - المعادلة ( 2 )

ك2 جـ جا 45 ْ - ك1 جـ = ت ( ك1 + ك2 )

وبتعويض ك1= 10 كغ ، ك2 = 5 كغ ، جـ = 9.8 م / ث2

والإشارة السالبة هنا معناها أن الكتلة ( ك1 ) لا تصعد للأعلى بل تهبط للأسفل وأن الكتلة ( ك2 ) تصعد أعلى المستوى المائل ولا تهبط.
ولحساب الشد نستخدم المعادلة رقم ( 2 )
ش - ك2 جـ جا 45 ْ = - ك2 ت
ونقوم بتعويض قيمة ( ت ) فيه :






وبتعويض ك1 = 10 كغ ، ك2 = 5 كغ ، جـ = 9.8 م / ث2



مثال رقم ( 5 ) :


احسب تسارع الكتلتين ك1= 4 كغ وك2 = 3 كغ الموضحتين بالشكل , وما القوة التي تؤثر بها ك1 على ك2 , إذا علمت أن ك1 تؤثر فيها قوة خارجية قيمتها 19 نيوتن.
1- نعيد الرسم موضحين القوى المؤثرة على الأجسام في النظام


3- نرسم الرسم الحر لكلا الجسمين



3- نطبق القانون الثاني لنيوتن ك1 ( على السينات فقط لأن الحركة أفقية )

4- نطبق القانون الثاني لنيوتن ك2 ( على السينات فقط لأن الحركة أفقية )


5- نقوم بحل المعادلتين ( 1 ) ، ( 2 )

- ق = - ( ك1 + ك2 ) ت
\ ق = ( ك1 + ك2 ) ت
وبالتعويض ك1 = 4 كغ ، ك2 = 3 كغ ، ق = 9 نيوتن

6- لحساب قيمة القوة التي تؤثر بها ك1 على ك2 نستخدم المعادلة ( 2 )


مثال رقم ( 6 ) :
حركة المصاعد :
افرض أن جسماً كتلته ( ك= 50 كغ ) موضوع داخل مصعد ما هي قراءة ميزان يقيس وزن الجسم ( الوزن الظاهري ) في حالة :
1- المصعد يتحرك إلى أعلى بتسارع ( ت = 2 م / ث2)
2- المصعد يتحرك بسرعة ثابتة إلى أعلى.
3- المصعد يتحرك إلى أعلى بتباطؤ ( قبل التوقف ) ( ت = 2 م / ث2).
4- المصعد يتحرك إلى أسفل بتسارع ( ت = 2 م / ث2)
5- المصعد يتحرك بسرعة ثابتة إلى أسفل.
6- المصعد يتحرك إلى أسفل بتباطؤ ( قبل التوقف ) ( ت = 2 م / ث2) اعتبر جـ = 9.8 م / ث2
الحل :
1- الجسم الموضوع داخل المصعد يتأثر بالقوى الموضحة بالشكل .

1- المصعد يتحرك إلى أعلى بتسارع ( ت = 2 م / ث2)
وبتطبيق قانون نيوتن:
ر ـ و = ك ت
ر ـ ك جـ = ك ت
ر ( الوزن الظاهري ) = ك ( جـ + ت )
ر = ( 50 )( 10 + 2 ) = 50 ( 12 ) = 600 نيوتن.
وبذلك يكون الوزن المقروء ( الوزن الظاهري ) أكبر من الوزن الحقيقي .
لأن الوزن الحقيقي للجسم = ك جـ = ( 50 )( 10 ) = 500 نيوتن.

2- المصعد يتحرك إلى أعلى بسرعة ثابتة ت = صفر
وبذلك ـ ر ـ و = صفر
ر = و = ك جـ = 500 نيوتن.

3-المصعد يتحرك إلى أعلى بتباطؤ ( ت = -2 م / ث2)
رـ و = - ك ت
ر ـ ك جـ = - ك ت
ر = ك جـ ـ ك ت
ر ( الوزن الظاهري ) = ( 50 )( 10 ) ـ ( 50 )( 2 )
= 500 - 100= 400 نيوتن.
وهنا يكون الوزن الظاهري أقل من الوزن الحقيقي.


4- المصعد يتحرك إلى أسفل بتسارع ( ت = 2 م / ث2)
ر ـ و = - ك ت ( لاحظ أن اتجاه التسارع لأسفل )
ر = و ـ ك ت
ر = ( 50 )( 10 ) ـ ( 50 )( 2 )
= 500 - 100 =400 نيوتن ويكون الوزن الظاهري أقل من الوزن الحقيقي.


5- المصعد يتحرك إلى أسفل بسرعة ثابتة ( ت = صفر )
ر ـ و = صفر ـ ر = و ـ ر = ك جـ = ( 50 )( 10 )= 500 نيوتن.

- المصعد يتحرك إلى أسفل بتسارع ( ت= 2 م / ث)
ر ـ و = - ( ك ( ـ ت )) ( تباطؤ إلى أسفل )
ر ـ و = ك ت
ر = و + ك ت = ك جـ + ك ت
= ( 50 )( 10 ) + ( 50 )( 2 )
= 500 + 100 = 600 نيوتن
ويكون الوزن الظاهري أكبر من الوزن الحقيقي.